La matematica degli origami

Un titolo così lascerà certamente qualcuno un po’ perplesso. Che centrerà mai la matematica con quell’arte tutta giapponese di ricreare gli oggetti del reale piegando e ripiegando carta?
Eppure l’accostamento non è così azzardato. L’arte degli origami (dal giapponese “ORU” che significa “piegare” e “KAMI” che significa “carta”) è stata oggetto di moltissimi studi matematici.

Il loro campo di studi ha coperto il problema della flat-foldability (se sia possibile appiattire l’origami senza strapparne la carta) e l’utilizzo degli origami per la soluzione di equazioni matematiche.
Alcuni antichi problemi di geometria – la trisezione dell’angolo di ampiezza arbitraria, oppure la duplicazione di un cubo di volume sempre arbitrario – sono insolubili attraverso i metodi tradizionali (riga e compasso) ma possono essere agevolmente risolti per mezzo di semplici origami.

Gli origami possono essere usati per risolvere operazioni come potenze o la radice di un numero. Gli origami sono quindi uno strumento che permette la soluzione di equazioni polinomiali (contenenti solo termini del tipo anxn) anche se non è ancora chiaro fino a che punto tali equazioni possano essere risolte con il loro ausilio.
Infine, il problema dell’origami rigido che tratta le pieghe degli origami come cardini che connettono due superfici piatte e rigide come ad esempio due fogli metallici, ha applicazioni di grande importanza nell’ingegneria.

Ad esempio, il Miura map fold è un Origami rigido che venne usato per il dispiegamento dei pannelli solari nei satelliti spaziali. Gli Assiomi di Huzita-Hatori sono un importante contributo a questo campo della matematica.

GRANDI MATEMATICI E ORIGAMI. A questo punto è lecito pensare che se dietro gli origami c’è davvero così tanta matematica, molti matematici ne abbiano fatta una passione. In effetti è così. Non si potrebbe spiegare altrimenti il motivo per cui lo studio di John Horton Conway, uno di più celebri e senz’altro il più originale fra i matematici dell’Università di Princeton, è pieno di modelli di carta, di ogni tipo.

Ci sono origami appesi al soffitto e in ogni angolo della sua stanza. Ma che cosa attrae lui e tanti altri matematici verso l’antica arte giapponese di piegare la carta? Il matematico è affascinato dagli origami perché vede materializzarsi, tra le sue mani, molte delle idee astratte delle sue ricerche, semplicemente piegando un foglio di carta. Gli origami sono un modo divertente e curioso per stimolare il pensiero matematico, inoltre consentono di trovare nuovi teoremi su percorsi diversi da quelli classici dell’algebra o della geometria euclidea.

Il rapporto fra origami e matematica è molto profondo. È sufficiente dispiegare un qualsiasi origami, anche il più semplice, per scoprire una complessa struttura geometrica: le piegature producono simmetrie assiali con angoli, linee, e poligoni dalle proprietà particolari tanto che ne è nata una nuova geometria, la “geometria origami”, con nuovi assiomi che possono sostituire gli assiomi tradizionali di Euclide. Se nella geometria euclidea classica è consentito l’uso soltanto della riga e del compasso, nella geometria origami è consentito soltanto l’uso del foglio di carta, che matematicamente penseremo illimitato e che chiameremo piano, sul quale potremo intervenire con una serie di piegature. Per esempio un altro noto matematico e appassionato origamista, Benedetto Scimemi, dell’Università di Padova, ha stabilito, insieme al giapponese Humiaki Huzita, i sei assiomi della geometria origami (in realtà il matematico Koshiro Hatori ha scoperto in seguito un settimo assioma).

Se per Euclide “fra due punti passa una sola retta”, per la nuova geometria il primo assioma afferma che “dati due punti p1 e p2 è possibile piegare una linea che li colleghi”.

Completamente diversi da quelli euclidei sono invece gli altri assiomi.
Il secondo assioma, ad esempio, afferma che “dati due punti p1 e p2 è possibile piegare p1 su p2″.
Come esempio di costruzione geometrica origami vediamo ancora la determinazione delle bisettrici degli angoli formati da due pieghe incidenti, l1 e l2. Le bisettrici ottenute sono tra loro perpendicolari.

Per quanto riguarda, invece, i nuovi teoremi, nella geometria origami troviamo, ad esempio, il teorema di Kawasaki: dato il foglio di carta dispiegato di un origami qualsiasi, gli angoli a1, … a2n aventi lo stesso vertice, uno qualsiasi dei punti interni, intersezione delle linee dell’origami, abbiamo la seguente relazione,
a1 + a3 + … + a2n – 1 = a2 + a4 + … + a2n = 180°

Un origami e lo stesso con il foglio di carta dispiegato. Le pieghe di costruzione formano un intreccio di linee. In questo caso risulta evidente che per gli angoli aventi come vertice il punto A, vale la proprietà: a1 + a3 + a5= a2 + a4 + a6 = 180°

Ad esempio, consideriamo il vertice A dell’origami di figura. Su tale vertice, con angoli evidenti di 90° e di 45° gradi, è facile verificare la validità della relazione annunciata.

Nel video tratto da TED che vedrete qui sotto una conferenza di Robert Lang: Idea + square = origami. Nel resto del post vedremo invece che non è necessario essere grandi matematici per apprendere la matematica dagli origami.

 

APPRENDERE CON GLI ORIGAMI. Gli origami non sono, tuttavia, un gioco istruttivo e divertente solo per grandi matematici. Anche senza entrare in dettagli particolarmente complessi potremmo, infatti, considerare, che giocare con gli origami vuol dire esplorare forme e strutture, ed è la migliore introduzione alla geometria dello spazio anche per chi è alle prime armi in questa materia. Giocare con gli origami stimola, inoltre, intuizione e creatività e quindi non vi è dubbio che sia anche un modo divertente per fare matematica.  Proviamo, ad esempio, ad aprire un qualsiasi origami, anche il più semplice, e avremo davanti una complessa struttura geometrica: linee, triangoli e poligoni da analizzare. Quali angoli osserviamo? come si ottengo tali angoli e forme? Siamo stati noi stessi a tracciarli costruendo l’origami?
Insomma se grandi origamisti sono artisti che creano forme stupende, partendo da forme base che trasformano con una velocità sorprendente in animali, alberi e mille altri oggetti, piegare e dispiegare un origami rivela indubbiamente anche infiniti problemi matematici. Quindi, per quanto riguarda la matematica, fare anche una minima pratica con gli origami, permetterà di acquisire non soltanto una maggior familiarità con quest’arte, ma anche, più in generale, una nuova abilità nell’analisi di una qualsiasi struttura.
Per esempio, partendo come per tutte le cose dall’ABC, possiamo osservare che apprendendo anche solo la tecnica per costruzione delle forme più semplici – quadrati, esagoni, cubi o piramidi, – pur trovandoci ancora ai margini dell’origami classico, abbiamo già un buon punto di partenza per una discussione matematica di queste figure.

POLIGONI E POLIEDRI. Poligoni e poliedri, infatti, si costruiscono in genere con colla e forbici, ma è stato dimostrato che si possono ottenere tutti con gli origami, dai cinque solidi platonici ai poliedri stellati. Qui qualche esempio di poliedri regolari e stellati.

Costruzione del pentagono

Prendiamo una striscia di carta e pieghiamola in modo da fare un nodo. Se schiacciamo il nodo in piano abbiamo il pentagono.
Martin Gardner segnala che, ripiegando una estremità della striscia e tenendo il nodo davanti a una luce forte si vede il famoso pentagramma pitagorico.

Le tangenti di una parabola

Segniamo prima un punto pochi centimetri da un margine del foglio, poi pieghiamo la carta almeno 20 volte in varie posizioni, in modo che il margine ripiegato passi per  il punto che abbiamo segnato. I segni delle piegature risultano l’inviluppo di una parabola alla quale sono tangenti.
Il punto segnato è il fuoco della parabola e il bordo del foglio è la sua direttrice.

L’arte dell’origami può dunque essere un ottimo strumento didattico. Sorprendente a questo punto è dove viene applicato questo metodo. Il seguente video, Origametria, fa riferimento all’esempio di Miri Golan che mette in pratica l’insegnamento della geometria con l’origami al Centro in Israele.

Allora ho stuzzicato sufficientemente la vostra attenzione di matematici? Se volete cimentarvi con qualcosa di più complesso dei poliedri e più vicino all’origami classico potrete provare con La Pajarita, il più celebre fra gli origami, un passerotto che batte le ali quando gli si tira la coda, che è sia un pezzo artistico che un capolavoro di meccanica.
Questo post partecipa al prossimo Carnevale della matematica ospitato su Rangle, il blog di Peppe Liperti. Il tema scelto è Matematica e realtà, non centra molto ma spero sia stato ugualmente di vostro gradimento.

Fonti:
Matematica degli origami da wikipedia
Introduzione alla Statistica con l’Origami di Mario Cigada

LIBRI
T. Sundara Row, Geometric Exercises in paper-folding, Dover Publications, 1966 – Il primo libro da leggere per passare dagli origami alla Matematica del Paper Folding, è gratuito, e potete in rete
Benedetto Scimemi, Algebra e geometria piegando la carta, in Matematica: gioco ed apprendimento, Apeiron

WEB
La matematica degli Origami
http://www.origami-cdo.it/articoli/articoli.htm
http://www.math.lsu.edu/~verrill/origami/
A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers
Imaging maths – Unfolding polyhedra un articolo di Konrad Polthier
Gli assiomi di Humiaki Huzita e Benedetto Scimemi e, sempre sul sito di Robert Lang, trovate anche altri link
Origami Gallery

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